AYN:

勘の良い人は三角関数を駆使するはずなので敢えて避け、皆が楽しめるように具体的数字を与え証明してみる。楽しいか微妙だけれど^^　結果として自分としては捉えずらくなった。

始めに図の交点をo, p, q, rとします。

基本条件
△dac∽△abc∽△brc(2つの角が等しい)
基準となる三角形を△abcとして仮に底辺bc=3高さab=4斜辺ca=5とする。底辺が短辺となるように直角三角形をとらえ説明する。

赤い辺を含む直角三角形△dapと青い三角形を含む直角三角形△fcqが相似であることを示す。

da:fc求める。
daの長さは△dacの高さ。△abcの共有する辺はacでそれぞれの三角形にとっての底辺、斜辺。
基準の△abcの底辺３が大きい三角形の底辺では斜辺の同じ長さの5になっているので、大きい△dacは基準の5/3倍の大きさ。
△dacの高さは4 x 5/3 =20/3となる。…a1
fcの長さは基準の△abcの高さab=4…a2
a1,a2より
da:fc=20/3 : 4…①

ap:cqを求める。
apの長さはafと等しくさらにbcと等しい。つまり基準の△abcの底辺bc=3…b1
cqの長さはfrと等しく△brcの底辺となる。
△bcrと基準の△abcはそれぞれの斜辺、底辺を共有している。
基準の△の斜辺ca=5が△brcの斜辺3になるので△bcrは基準の△abcの3/5倍の大きさ。
△brcの底辺は3 x 3/5 = 9/5…b2
b1,b2より
ap:cq=3 : 9/5…②


①②より
da/ap=20/(3 x 3)=20/9…①’
fc/cq=4 x 5 /9=20/9…②’

∠dap=∠fcq＝90°…③

①’ ②’ ③より
2辺の比とその間の角が等しいので
△dap∽△fcq
∠pda=∠qfc
∴θ1=θ2


長さを与えるとsin,cos,tanよりは身近に感じるかと試みた^^
ちなみにこの仮の値になるようなαの角度は36.869°
三角関数は角度αが変動して辺の数値が何であろうと成り立つ性質なので革命ですね^^
慣れれば数値をわざわざ与えられなくてもやっていることは同じ。


並里義明建築研究所/ AYN Architect Yoshiaki Namizato
http://namizato.jp