AYN:

指数関数exの逆関数logx。これを微分すると1/x。ネイピア数を使った関数が定数１の反比例に整う様子を確認する。

Fig.1
指数関数、逆関数である対数関数。軸と1で交わりy=xで対象。

a
これは指数関数がy軸方向の倍率を変化させても位置をずれせば全く同じ関数になることを示している。具体的には曲線上の点Pのyの逆数でｙ軸に関して縮小し、x方向に-p移動すると全く同じ関数になる指数関数の特殊な性質。

b
このことはある地点Pの傾きを求めたい時、y軸と交わる傾きにh(p)を掛けることで求めることができる。

c
逆関数であるI(x)でも同じことが言えx軸に関して注意して倍率、y軸に関して移動させると求めることができる。

d
Q点に関しての傾きは先ほどと同様に考えることができる。

e
b式の一般化

f
d式の一般化

g
指数関数exはx=0の時の傾きが1とするような値であるからe式を適用すると微分しても変化しないことが確認できる。

h
同様に対数関数logexは逆関数であるためx=0の時傾きが1となることを利用するとf式から微分すると1/xであることが確認できる。

Fig.2
ｇ、ｈ式は傾きが1であったのは指数関数や対数関数の底がeであったためである。異なる底の場合、指数関数axの場合にはlogeaになる。重要なのは指数関数の底の値はその初期の接線の傾きの値に直接関係し自然対数eを底とした対数で綺麗に表現できる。

i
これはよく見掛ける連続複利の最大値がネイピア数になることを示した式。
指数関数のexのネイピア数の性質、極限式を介して連続複利の関係を説明しているものが多い。ここでは具体的に指数関数のexの何が連続複利と関係しているのかを確認する。この極限式はexがx=1の時にeとなるこを表している極限式とみることができる。

Fig.3
極限n分割をn乗するお話。その第1回目の掛け算に注目してみる。
点rはxが1/nでyが1に対して(1+1/n)倍した値。

j
xの増加量とyの増加量を考えると1となっている。このことからi式は指数関数exの傾きの初期値であることが分かり。連続複利と指数関数exとの関連が分かる。nの分子1は100％複利を示している。

まとめ
指数関数は式の通りどの点を取ってもその位置のyの値で割り算すると同じ傾きを保ち。yの値に比例している。逆関数である対数関数の傾きは反比例する。特に初期の傾きが1であるとき指数、対数関数の底はeになり定数１の反比例になる。
Fig2で見た通り指数関数の底から初期の傾きを出すには本来i式の極限をそれぞれ行う必要があるが自然対数が変換器の様に取りつくだけで初期の傾きを求めることができる。初期の傾きが何故重要なのか。それはe, f式から分かる通り指数関数や対数関数の微分に直接現れるからだ。
そしてeは指数関数の初期の傾きが1になるのはxのスピードとa^xの増加スピードが初期において同じになる状態でxの増加と指数関数、微小の変化、微分、初期の傾き（e,f式から分かるように微分式に初期の傾きが直接影響）




並里義明建築研究所/ AYN Architect Yoshiaki Namizato
http://namizato.jp