AYN:

オイラー氏の出せなかった弾性座屈荷重時の柱のはらみ（材軸に垂直な変位）の算出に挑戦してみた。

柱とπの話 Part1 https://namizato.ti-da.net/e12190153.html
さらに、その荷重の掛かった状態の不思議についても話しました。
Part2では弾性座屈荷重時の状態について再考。材軸から突然はみ出し、楽な状態にはらみ、それは微小からのスタートではなく、不連続変位だと推測。

今回ついにその最小はらみ量を想定してみた。オイラーも算出していない値を出そうと言う挑戦的な態度^^

まず、はらみ状態の中立軸（材軸）はaSin曲線を描き、aが不定となり定まらないと言うのは微分方程式から導かれた値。

まず、座屈荷重時に楽な状態にはらむということは、座屈荷重時には中立軸がΔL縮んでいたが、はらむことによって軸内圧縮力がゼロになり中立軸の長さがLに復元されたと考える。

その状態の支店間距離を
L’=L－ΔL＝π
と考えるとはらんだ曲線は長さLとなり、aSinθ曲線の0からπの長さとなる。

ここでaを変化させたときのaSinθ曲線の0からπの長さを算出する。それはaSin長、Lである。

その長さが支店間距離に縮められていた状態を考えるとΔL＝L－L‘が導け、縦歪度εが導ける。

オイラーの座屈荷重式を変形し、縦歪度εを利用し、λについて求める。未知数はεのみで先程導いたεを代入するとλが導かれる。また、はらみaとLで割ったαを用意する。
αとλを掛けることにより(a/L)x(L/i) → (a/i) 断面二次半径に対するはらみaの比を求めることができる。

驚いたことに、ほぼ2に近い値を示している。つまり、弾性座屈荷重時には断面二次半径の2倍以上はらむ。 何かしらの計算をすれば導けるのか、微分方程式から直接2.0と言う値が出て来るのか。不思議です。

今回最も難しいのはaSinθの曲線の長さを出すのが最も難しい。高校時代に習う積分利用の曲線の長さとは桁が違う。初等関数では表せない。当時のオイラーでも精算は難しかったのか、関心のない値だったのか。参考にしたサイト。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/100266.html
https://ss1.xrea.com/math7755.s1010.xrea.com/2nd-Elliptic-Excel.html

間違いがあればあっさり修正します。しかし驚く発見だ、色々調べたけど見たことない。

並里義明建築研究所/ AYN Architect Yoshiaki Namizato
http://namizato.jp